Calcolo delle derivate

Calcolatore di derivate

Campo di input per la funzione da derivare:

f(x) =

chiaro

Plot

Pos1

End

Derivato

\frac{d}{d x} f (x)

prossimo Derivato

\frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x)

(

)

\sin

\cos

\tan

e^{x}

\ln (x)

x^{a}

asin

acos

atan

x^{2}

\sqrt{x}

\sqrt[3]{x}

\sqrt[4]{x}

\frac{()}{()}

\sinh

\cosh

\frac{a x + c}{b x + c}

\frac{a + x}{b + x}

\frac{x^{2} - a^{2}}{x^{2} + a^{2}}

\frac{1}{a + b x}

\frac{1 + \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}

\sqrt{x + a}

\sqrt{e^{a x}}

e^{\sqrt{x}}

\frac{1}{\sqrt{a x}}

\frac{\sin (x)}{\cos (x)}

e^{x} \cdot \sin (x) \cdot \cos (x)

\frac{1}{\sin}

\frac{1}{\cos}

\frac{1}{\tan}

e^{\sqrt{x}}

a e^{- b x^{2} + c}

\sqrt{e^{a x}}

a e^{b x + c}

e^{a x^{2}}

\frac{1}{e^{a x}}

\frac{x}{e^{x}}

a \cdot \sin (b x + c)

a \cdot \cos (b x + c)

a \cdot \tan (b x + c)

a \cdot \sin^{2} (b x + c)

a x^{2} + b x + c

Funzione	Descrizione
sin(x)	Seno di x
cos(x)	Coseno di x
tan(x)	Tangente di x
asin(x)	arcsine
acos(x)	arccosine of x
atan(x)	arctangent of x
atan2(y, x)	Restituisce l'arctangente del quoziente dei suoi argomenti.
cosh(x)	Coseno iperbolico di x
sinh(x)	Seno iperbolico di x
pow(a, b)	Potenza a^b
sqrt(x)	Radice quadrata
exp(x)	e-funzione
log(x), ln(x)	Logaritmo naturale
log(x, b)	Logaritmo in base b
log2(x), lb(x)	Logaritmo in base 2
log10(x), ld(x)	Logaritmo in base 10

più ...

Notazione per la differenziazione

Per la differenziazione esistono diverse notazioni che hanno sempre lo stesso significato. L'utilità di ciascuna notazione varia a seconda del contesto. Di seguito sono elencate le notazioni più comuni per la differenziazione di Leibnitz, Eulero, Lagrange e Newton.

Notazione di Leibnitz per la differenziazione

La derivata in notazione Leibnitz di una funzione f rispetto alla variabile x è data come segue.

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d f}{d x} (x) = \frac{d f (x)}{d x}$

È consueta anche l'impostazione y = f(x) con la notazione per la derivata come segue.

$\frac{d y}{d x}$

Le derivate seconde, terze e superiori si scrivono come segue.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}; \frac{d^{3} y}{d x^{3}}; . . .; \frac{d^{n} y}{d x^{n}};$

Notazione di Lagrange per la differenziazione

La derivata prima nella notazione di Lagrange è data da un ' alla funzione.

$f^{'} (x)$

Le derivate superiori in notazione di Lagrange sono date come segue.

$f^{″} (x); f^{‴} (x); f^{(4)} (x); . . .; f^{(n)} (x)$

Notazione di Eulero per la differenziazione

Eulero utilizza l'operatore D per la derivata.

$D f = \frac{d}{d x} f (x)$

Notazione di Newton per la differenziazione

La notazione di Newton è chiamata anche notazione dei punti. La notazione utilizza i punti per annotare le derivate. Questa notazione è utilizzata per le funzioni che dipendono dal tempo t.

$\dot{f} (t) = \frac{d f}{d t}$

Le derivate superiori nella notazione di Newton sono date come segue.

$\ddot{f} (t) = \frac{d^{2} f}{d t^{2}}; \overset{⃛}{f} (t) = \frac{d^{3} f}{d t^{3}}$

Derivati di base

$\frac{d}{d x} Const. = 0$

$\frac{d}{d x} x = 1$

$\frac{d}{d x} x^{n} = n \cdot x^{n - 1}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{x} = - \frac{1}{x^{2}}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{n}} = - \frac{n}{x^{n + 1}}$

$\frac{d}{d x} a^{x} = a^{x} \ln a$

$\frac{d}{d x} a^{k x} = a^{k x} k \ln a$

$\frac{d}{d x} \frac{a \cdot x + c}{b \cdot x + c} = \frac{c \cdot (a - b)}{{(b \cdot x + c)}^{2}}$

$\frac{d}{d x} \frac{1}{a + b \cdot x} = \frac{- b}{{(a + b \cdot x)}^{2}}$

Derivate di funzioni trigonometriche

Derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche

Derivate di funzioni radice

Derivati ennesimi

Regole di derivazione

Di seguito, le regole di derivazione più importanti vengono descritte e spiegate con esempi.

Regola del fattore: Un fattore costante viene mantenuto quando si differenzia
Regola della somma: Regola per la derivazione di una somma
Regola del prodotto: Regola di derivazione dei prodotti
Regola del quoziente: Regola per la derivazione dei quozienti
Regola della catena: Regola per la derivazione di funzioni annidate

Regole di derivazione in breve

Regola dei fattori: Un fattore costante è conservato quando si differenzia

$(a \cdot f)' = a \cdot f'$

Regola della somma: Quando si ricava una somma, i sommatori possono essere derivati individualmente

$(f_{1} + f_{2})' = f_{1}' + f_{2}'$

Regola del prodotto: Regola per derivare i prodotti

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Regola del quoziente: Regola per derivare i quozienti

${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} \cdot v - u \cdot v^{'}}{v^{2}}$

Regola della catena: Le funzioni annidate vanno in un prodotto delle derivate interne ed esterne quando si differenziano

$(f (g (x)))' = f' (g) \cdot g' (x)$

Regola del fattore e della somma

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} (a_{1} f_{1} (x) + a_{2} f_{2} (x)) = \frac{d}{d x} a_{1} f_{1} (x) + \frac{d}{d x} a_{2} f_{2} (x) = a_{1} \frac{d}{d x} f_{1} (x) + a_{2} \frac{d}{d x} f_{2} (x)$

La regola della somma stabilisce che gli elementi della somma possono essere differenziati individualmente.

Derivazione dei sommatori

$\frac{d}{d x} (f_{1} (x) + f_{2} (x)) = \frac{d}{d x} f_{1} (x) + \frac{d}{d x} f_{2} (x)$

La regola dei fattori prevede che i fattori costanti siano conservati durante la derivazione.

Il fattore costante a viene mantenuto nella derivazione di

$\frac{d}{d x} (a f (x)) = a \frac{d}{d x} f (x)$

Esempio di applicazione della regola del fattore e della somma (aperto per selezione)

La funzione di esempio contiene fattori di somma e di costante. Per differenziare, si applicano entrambe le regole.

Nella prima fase si applica la regola della somma. Nella seconda fase, si applica la regola dei fattori su ogni addendo e infine si ricavano i singoli termini, la derivata della funzione.

Regola del prodotto

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} (u (x) \cdot v (x)) = v (x) \frac{d}{d x} u (x) + u (x) \frac{d}{d x} v (x) = u^{'} (x) \cdot v (x) + u (x) \cdot v^{'} (x)$

La regola del prodotto specifica come gestire il prodotto di due funzioni quando vengono differenziate. In parole povere, la regola del prodotto può essere espressa come segue: Derivazione della prima funzione per la seconda funzione più la prima funzione per la derivazione della seconda funzione.

Esempi di applicazione della regola del prodotto (aperta per selezione)

Ecco alcuni esempi di applicazione della regola del prodotto.

Esempio di regola di prodotto 1

Nel primo esempio, la regola del prodotto viene spiegata utilizzando una funzione costituita dal prodotto delle funzioni seno e coseno. La derivata viene eseguita secondo la regola del prodotto, in modo che la derivata del primo fattore venga moltiplicata per il secondo fattore e sommata alla derivata del secondo fattore moltiplicato per il primo fattore.

Esempio di regola di prodotto 2

Nel secondo esempio, la regola del prodotto è spiegata da una funzione costituita dal prodotto delle funzioni esponenziale e seno.

La derivazione avviene secondo la regola del prodotto come nel primo esempio, solo che qui il primo fattore è la funzione e e il secondo è la funzione seno.

Esempio di regola di prodotto 3

Nel terzo esempio, la regola del prodotto è spiegata da una funzione costituita dal prodotto di tre funzioni.

Se un prodotto è costituito da più di due funzioni, la regola del prodotto può essere utilizzata in successione combinando le funzioni come richiesto e applicando la regola del prodotto più volte in successione.

Con la rispettiva parentesi si ottiene di nuovo un prodotto di due fattori su cui si può applicare la regola del prodotto. Nell'esempio continuiamo con la prima variante.

Regola del Quoziente

$\frac{d}{d x} f (x) = \frac{d}{d x} \frac{u (x)}{v (x)} = \frac{v (x) \frac{d}{d x} u (x) - u (x) \frac{d}{d x} v (x)}{v^{2} (x)} = \frac{u^{'} (x) \cdot v (x) - u (x) \cdot v^{'} (x)}{v^{^{2}}}$

La regola del quoziente specifica come trattare il quoziente di due funzioni quando si differenziano.

Esempio di applicazione della regola del quoziente (aperto per selezione)

Come esempio di applicazione della regola del quoziente, si utilizza il quoziente della funzione seno e coseno. L'applicazione è simile alla regola del prodotto. Il ruolo dei fattori assume qui ogni numeratore e denominatore della pausa.

Regola della catena

$\frac{d}{d x} f (g (x)) = \frac{d}{d x} g (x) \cdot \frac{d}{d g} f (g) = g^{'} (x) \cdot f^{'} (g)$

La regola della catena specifica come devono essere trattate le funzioni annidate quando si differenziano. Si distingue tra la funzione interna e la funzione esterna. Pertanto, la regola della catena può essere formulata come segue: la derivata è la derivata della funzione interna moltiplicata per la derivata della funzione esterna. Nella derivazione della funzione esterna, la funzione interna nel suo complesso è considerata una variabile. Non è differenziata da x, ma dalla funzione interna g.

Esempi di applicazione della regola della catena (aperta per selezione)

Ecco alcuni esempi di applicazione della regola della catena. Nel primo esempio, la funzione seno è nell'esponente della funzione e. La funzione seno è quindi la funzione interna g. La funzione seno è quindi la funzione interna g. Il secondo esempio mostra come differenziare una funzione potenza. Nel terzo esempio, una funzione quadratica è interna a una funzione trigonometrica.

Uso misto

Esempi di uso misto delle regole di derivazione (aperti per selezione)

Ecco alcuni esempi di uso misto delle regole di derivazione. Il primo esempio utilizza le regole del prodotto e del quoziente. Il secondo esempio mostra come possono essere utilizzate le regole del prodotto e della catena. Il terzo esempio utilizza le regole della somma, del fattore e della catena.

Differenziare i vettori

I vettori saranno differenziati per derivazione di tutte le componenti vettoriali.

$\frac{d}{d t} \vec{f (t)} = (\begin{matrix} \frac{d}{d t} f_{1} (t) \\ \frac{d}{d t} f_{2} (t) \\ ⁝ \\ \frac{d}{d t} f_{n} (t) \end{matrix})$

Esempio di differenziazione di una funzione vettoriale

Nell'esempio seguente, la derivata di una funzione vettoriale viene fornita utilizzando la rappresentazione parametrica di una curva tridimensionale.

Regole per differenziare le funzioni vettoriali

Di seguito vengono fornite alcune regole per la differenziazione delle funzioni vettoriali. Tra queste anche la derivazione del prodotto incrociato e del prodotto scalare di funzioni vettoriali. f denota una funzione scalare. Con il prodotto incrociato i fattori non possono essere scambiati.

Derivati parziali

Per le funzioni a più variabili la derivata su una delle variabili è detta derivata parziale.

Per una funzione con la variabile x e diverse altre variabili, la derivata parziale rispetto a x si nota come segue.

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y, . . .)$

Per la derivazione parziale, le altre variabili sono trattate come costanti.

Esempio di derivate parziali

Nell'esempio seguente, la derivata di una funzione di x, y e z viene derivata parzialmente in base a ciascuna variabile.

Gradiente

Il gradiente è un vettore le cui componenti sono le derivate parziali di una funzione f. Esistono due nomi comuni per il gradiente. Uno è grad(f) e l'altro utilizza l'operatore differenziale nabla ∇.

$g r a d (f) = \nabla f = (\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial f}{\partial x_{2}} \\ ⁝ \\ \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \end{matrix})$

Regole di calcolo dei gradienti

Al gradiente si applicano le seguenti regole di calcolo.

Derivazione implicita

Una funzione F(x, f(x)) = 0 può essere differenziata anche senza risolvere esplicitamente la funzione, se esistono le corrispondenti derivate parziali.

Se impostiamo y = f(x) e quindi F(x, y) = 0 per una notazione più chiara, la derivata può essere calcolata per mezzo delle derivate parziali come segue.

$F (x, f (x)) = F (x, y) = 0$

$f^{'} (x) = \frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{\partial}{\partial x} F (x, y)}{\frac{\partial}{\partial y} F (x, y)}$

Esempio di derivazione implicita

Esempio di derivazione di una funzione implicita.

Altre calcolatrici

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Derivati

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